Олимпиадная задача про кузнечика на квадратном лугу: планиметрия и индукция

Достаточно доказать следующее утверждение. Пусть каждая сторона квадрата имеет длину 1 и разделена на 2ⁿ равных частей (n > 0), а через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Тогда кузнечик сможет попасть в любую из 4ⁿ полученных клеток. При n=0 факт тривиален. Проведем индуктивный переход от n к n+1. Рассмотрим какую-то из клеток размера 4^-n-1.Выберем самую близкую к ней вершину исходного квадрата и выполним гомотетию с центром в этой вершине и с коэффициентом 2. Тогда выбранная клетка перейдет в одну из клеток размера 4^-n. По предположению индукции, кузнечик может в нее попасть. Если он прыгнет теперь на половину расстояния до указанной вершины, то он попадет в нужную клетку.

Источники и прецеденты использования