Олимпиадная задача: докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник

Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, если AB$\Vert$DC, AB = DC и

AB $\perp$ AD. Для этого достаточно доказать, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ и

$\overrightarrow{AB}$ ^. $\overrightarrow{AD}$.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);6-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$, $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(5-2);4-(-2)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$,

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2-(-2);-2-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-2)}$,

то$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$и

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = 3 ^. 4 + 6 ^. (- 2) = 0.

Что и требовалось доказать.