Олимпиадная задача по планиметрии: площадь пятиугольника ABCDE, 8-10 класс

Известно, что еслиy₁$\ne$y₂иx₁$\ne$x₂, то уравнение прямой, проходящей через точки(x₁;y₁) и(x₂;y₂), имеет вид

$\displaystyle {\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Тогда уравнение прямой, проходящей через точкиA(0;2) иC(10;7) таково:

$\displaystyle {\frac{y-7}{2-7}}$ = $\displaystyle {\frac{x-10}{0-10}}$, или y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x + 2,

а уравнение прямой, проходящей через точкиB(1;7) иD(7;1) —

$\displaystyle {\frac{y-1}{7-1}}$ = $\displaystyle {\frac{x-7}{1-7}}$, или y = - x + 8.

Координаты точки пересечения прямыхACиBD— это решение системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y = \frac{1}{2}x+2\\ y = -x+8,\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} y = \frac{1}{2}x+2\\ y = -x+8,\\ \end{array}$

т.е.x= 4,y= 4. Таким образом,E=E(4;4).

Заметим, что

S_ABCDE = S_{$\scriptstyle \Delta$BAC} + S_{$\scriptstyle \Delta$BDC} - S_{$\scriptstyle \Delta$BEC}.

ТреугольникиBAC,BDCиBECимеют общее основаниеBCи высотыh_A= 7 - 2 = 5,h_D= 7 - 1 = 6 иh_E= 7 - 4 = 3. Следовательно,

S_ABCDE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. (h_A + h_D - h_E) ^. BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. (5 + 6 - 3) ^. 9 = 36.