Олимпиадная задача: Найти точки A и B на графиках y = x³ и y = x³ + |x| + 1 с минимальным расстоянием

Решение 1:   Положим  c = 100³ + 100 + 1,     Поскольку  (100 + δ)³ = с,  точки  A(100 + δ, c)  и  B(100, c)  лежат на соответствующих графиках. При этом  AB = δ.  Но  3·100²·δ < (100 + δ)³ – 1003 = 101,  то есть  

Решение 2:   Положим  δ = 0,01.  Найдётся такое положительное число x, что точки  A(x + δ, (x + δ)³)  и  B(x, x³ + x + 1)  имеют одинаковые ординаты (тогда  AB = δ). 

  Действительно,  (x + δ)³ = x³ + x + 1  ⇔  3x²δ + (3δ²– 1)x + δ³ – 1 = 0.  Поскольку свободный член отрицателен, уравнение имеет два корня, причём разного знака.