Олимпиадная задача: доказательство невозможности суммы кубов подряд идущих чисел (егоров а. а.)

  а) Куб числа, кратного 3, делится на 9. Если же число не делится на 3, то его можно записать в виде  n = 3k ± 1.  Тогда  n³ = 9(3k³ ± 3k² + k) ± 1,  то есть даёт остаток ±1 при делении на 9 (мы рассматриваем остаток –1 вместо остатка 8). Поэтому остатки при делении на 9 кубов последовательных натуральных чисел образуют последовательность  1, –1, 0, 1, –1, 0, ...  Отсюда сразу видно, что сумма любых трёх последовательных кубов делится на 9 и вообще сумма любого количества последовательных кубов может давать только остатки 0 и ±1 при делении на 9.

    97⁹⁷ ≡ (–2)⁹⁷ ≡ (–2)^6·16+1 ≡ –2 (mod 9),  так как  2⁶ = 64 ≡ 1 (mod 9).  Следовательно, 97⁹⁷ при делении на 9 даёт остаток –2, то есть не может быть суммой последовательных кубов.   б) Будем рассматривать остатки при делении кубов на 7. Снова воспользуемся отрицательными остатками (–3, –2, –1 вместо, соответственно, 4, 5, 6). Имеем:  (±1)³ = ±1,  (±2)³ = ±8,  (±3)³ = ±27.  Поэтому последовательность остатков при делении кубов натуральных чисел на 7 выглядит так:  1, 1, –1, 1, –1, –1, 0, 1, ...  Отсюда видно, что сумма последовательных кубов может давать при делении на 7 только остатки 0, ±1 и ±2.

    1997¹⁷ ≡ 2¹⁷ ≡ 2^3·5+2 ≡ 4 (mod 7),  так как 2³ ≡ 1 (mod 7).  Следовательно, 1997¹⁷ при делении на 7 даёт остаток 4 и не может быть суммой последовательных кубов.