Олимпиадная задача по планиметрии для 10–11 класса: площадь шестиугольника по треугольникам
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Показать ответ
⅔ суммы площадей указанных треугольников.
Разобрать решение
Опустим из точек C, C', D перпендикуляры CK, C'L, DM на AB. Заметим, что C'L = ½ (CK + DM) как средняя линия трапеции KCDM. Рассматривая треугольники ABC, ABC', ABD с общим основанием AB и высотами соответственно CK, C'L, DM, получим отсюда соотношение 2SABC' = SABC + SABD. Напишем аналогичные соотношения для всех указанных в условии треугольников и сложим их:
2·(SABC' + SBCD' + SCDE' + SDEF' + SEFA' + SFAB') = SABC + SABD + SBCD + SBCE + SCDE + SCDF + SDEF + SDEA + SEFA + SEFB + SFAB + SFAC =
= (SABC + SFAC + SCDF + SDEF) + (SBCD + SABD + SDEA + SEFA) + (SCDE + SBCE + SEFB + SFAB) = 3SABCDEF (треугольники в каждой скобке полностью покрывают шестиугольник).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.