Олимпиадная задача по математике на неравенства и делимость для 8-10 классов

  а) Заметим, что  

  Имеем:    

  Это число, очевидно, удовлетворяет требуемым неравенствам при n > 2.   б) По аналогии с пунктом а) постараемся представить     в виде     (тогда снова сократятся все члены суммы, кроме первого и последнего).  f(k) будем искать в виде квадратного трёхчлена  f(k) = k² + pk + q.  Получим соотношение

k³ – a = k(k² + pk + q) – ((k + 1)² + p(k + 1) + q) = k³ + (p – 1)k² + (q – 2 – p)k – (1 + p + q).   Отсюда  p = 1,  q = 3,  a = 5.  Итак,     и     то есть

b = 9.  Осталось подобрать c так, чтобы при  n > 2  выполнялось неравенство     или  n² + 3n + 5 < cn(n – 1).

  Подходит, например,  c = 4.