Олимпиадная задача: Числа 2ⁿ с особым свойством в системах счисления (8-10 класс)

Отношение двух степеней двоек из условия меньше 100. С другой стороны, их разность имеет вид  2^m(2ⁿ − 1).  Значит,  n ≤ 6.  Эта разность делится на 10, поэтому  2ⁿ − 1  кратно 5. Отсюда  n = 4,  2ⁿ − 1 = 15.  По условию,  15·2^m = a·10^k,  где  a ≤ 9.  Ясно, что  k = 1,  тогда  3·2^m–1 ≤ 9.  Итак,  m = 1 или 2.