Олимпиадная задача о правильном подборе гирь: теория чисел для 7–9 классов
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Показать ответ
а) Две гири по 167 г и 166 гирь по 1 г или 166 гирь по 3 г и две по 1 г.
б) 3 набора.
Разобрать решение
Пусть наибольший вес гири в некотором правильном наборе равен M (грамм). Это означает, что любая меньший вес может быть уравновешен меньшими гирями. Пусть вес всех меньших гирь равен m. Ясно, что m ≥ M – 1. Но если m ≥ M, то у нас есть два способа уравновесить вес M + r, где r – остаток от деления m на M. Следовательно, m = M – 1.
Пусть гирь максимального веса k штук. Тогда общий вес всех гирь kM + m = 500, значит, 501 делится на M. Определив M, можно определять вес второй по тяжести гири. Повторение предыдущего рассуждения показывает, что она должна быть делителем M. Но у 501 ровно два отличных от 1 и 501 делителя: 3 и 167, каждый из которых – простое число. Значит, имеется ровно два правильных набора, не считая тривиального из 500 гирь по 1 г: две гири по 167 г и 166 гирь
по 1 г; 166 гирь по 3 г и две гири по 1 г.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.