Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8-9 класса: вписанная окружность в четырёхугольники

  а) Пример такого восьмиугольника: полуправильный восьмиугольник со сторонами 2 и     От него можно четырьмя способами отрезать описанную трапецию со сторонами     б) Докажем, что это невозможно.   Первый способ. Среди пяти диагоналей, отсекающих описанные четырёхугольники найдутся соседние, например, AD и BE. Тогда

AB + CD = BC + AD,  BC + DE = CD + BE,  значит,  AB + DE = AD + BE.  Это противоречит тому, что сумма длин диагоналей четырёхугольника больше суммы длин двух его противоположных сторон (см. зад. 155162).   Второй способ. Пусть окружности с центрами P и Q вписаны в четырёхугольники ABCD и BCDE. Оба центра находятся на биссектрисе угла BCD. Кроме того, P лежит на биссектрисе угла ABC, а Q – на биссектрисе угла EBC.  ∠EBC < ∠ABC,  поэтому  BQ < BP.  Но аналогично (с использованием углов ADC и EDC вместо EBC и ABC) доказывается, что BP < BQ. Противоречие.