Доказательство неравенства для невозрастающих последовательностей

  Рассмотрим трапецию, ограниченную прямыми  x = a_2k,  x = a_2k–1,  y = 0,  y = 2x  (см. рисунок).

  Её площадь равна  ,  следовательно, выражение в левой части неравенства равно сумме площадей всех трапеций и треугодьника, в который вырождается последняя трапеция. Сдвинув все трапеции влево до упора, мы получим ступенчатую фигуру, содержащую треугольник (ограниченный прямыми  x=a₁–a₂+a₃–a₄+ ... +a_2k+1, y= 0, y= 2x),  площадь которого равна выражению в правой части (см. рисунок).