Олимпиадная задача Анджанс А.: пары соседних чисел с квадратами просты

  Назовём число хорошим, если его разложение содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Ясно, что произведение хороших чисел – хорошее число. Построим бесконечную последовательность {a_n}, положив  a₁ = 8,  a_n+1 = 4a_n(a_n + 1).  Докажем по индукции, что a_n и  a_n + 1  – хорошие числа при любом n.

  База  (n = 1)  очевидна:  a₁ = 8,  a₁ + 1 = 9.

  Шаг индукции. Пусть известно, что числа a_n и  a_n + 1  – хорошие. Тогда числа  a_n+1 = 4a_n(a_n + 1)  и  a_n+1 + 1 = (2a_n + 1)²  – тоже хорошие.