Отрезки между целыми точками на графике многочлена: олимпиадная задача

Пусть отмечены точки  A(a, f(a))  и  B(b, f(b)).  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 135562)  f(b) – f(a) = k(b – a),  где число k целое. Квадрат расстояния между точками A и B равен  (b – a)² + (f(b) – f(a))² = (b – a)²(1 + k²).  По условию это полный квадрат. Но тогда и

1 + k²  – полный квадрат, что возможно только при  k = 0.