Олимпиадная задача Конягина: правильный треугольник в выпуклом пятиуго

Предположим, что для некоторого равностороннего выпуклого пятиугольникаABCDEсо стороной, равной единице, утверждение задачи неверно. Можно считать, что наибольшая из диагоналей —AD, что точкиAиDлежат на горизонтальной прямой (DправееA), точки В и С — в её верхней полуплоскости, причём С не ближе к прямойAD, чем В. Ясно, что

1 < |AD| < |AE| + |ED| = 2.

Поскольку в треугольникахABDиACDсторонаAD — наибольшая, углыABDиACD, а тем болееABCиBCDвсе больше 60^o, следовательно, равносторонние треугольники, построенные на сторонахAB,BCиCD, должны пересекаться отрезкомAD(ведь каждый из них, по предположению, пересекается контуром пятиугольника, а отрезкамиAB,BCиCEэти треугольники пересечься не могут). Таким образом, углыBADиCDAменьше 60^o. Отметим на отрезкеADточкиB₁,C₁и на его продолжении — точку С₃, для которых |AB₁| = |C₁D| = |B₁C₃| = 1, и построим в верхней полуплоскости разносторонние треугольникиAB₁В₂,C₁DC₂,B₁C₃C₄. Точка В должна лежать где-то на дуге В₁В₂с центромA, точка С — на дугеC₁C₂с центромD. Рассмотрим полосу межды прямымиADи В₂C₂. Поскольку |BC| = 1 и С лежит не ниже В (но и не выше, чем на расстоянии$\sqrt{3}$/2 от прямойAD), то точка С должна лежать правее дугиC₃C₄с центромB₁. Но из неравентсва выше следует, что$\triangle$C₁DC₂расположен левее$\triangle$B₁C₃C₄, поэтому дуга С₁С₂расположена левее дуги С₃С₄. Получили противоречие. Значит, углыBADиCDAне могут быть одновременно меньше 60^o, и существует хотя бы один равносторонний треугольник (построенный либо на сторонеAB, либо наBC, либо наCD), который не будет пересекаться контуром пятиугольника. Это решение поддаётся обобщению и позволяет доказать аналогичное утверждение для любого равностороннего выпуклого (2n + 1) - угольника.