Задание олимпиады: Видимость берегов невыпуклого многоугольника (Плани

Итак, имеется несамопересекающийся невыпуклыйn-угольникP. Рассмотрим множествоTего внутренних точек, из которых видны все вершины P. Докажем, чтоT— выпуклый многоугольник, число сторон которого не большеn. Каждой стороне AB многоугольника P поставим в соответствие полуплоскость, граница которой есть прямая AB (из двух таких полуплоскостей мы выбираем ту, которая содержит достаточно близкие к AB внутренние точки многоугольника P). Число таких полуплоскостей равно числу сторон P, что равно n. Тем самым, в пересечении всех таких полуплоскостей получается выпуклый многоугольник T с количеством сторон не большим n.

Докажем, что многоугольник T и является искомым. Во-первых, заметим, что если точка не содержится в какой-нибудь из рассмотренных полуплоскостей, то из неё не видно одной из вершин соответствующей стороны. Во-вторых, докажем, что из любой точки многоугольника T видны все вершины многоугольника P. Предположим противное. Пусть точка B принадлежит T, но из B не видно вершину A. Это значит, что отрезок AB пересекает стороны многоугольника P. Если часть отрезка AB, прилегающая к вершине A, лежит вне многоугольника, то точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей стороне многоуголника с вершиной A. Иначе рассмотрим сторону многоугольника ближайшую к точке A и пересекающую AB, тогда точка B не принадлежит полуплоскости, соответствующей этой стороне. Получили противоречие.