Задача № 17814510, 11 классы5 / 5

Математическая задача: Площадь выпуклого многоугольника и проекции

Проекции плоского выпуклого многоугольника на осьOX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, осьOYи биссектрису 2-го и 4-го координатных углов соответственно равны 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника равнаS. Доказать, чтоS $\ge$ 10.

Разобрать решение

Аналогично решениюзадачи 5 для 8 классаустанавливается, что искомый многоугольник М заключается внутри пересеченияQ= Р $\cap$ р; при этом, поскольку М проектируется в четырёх направлениях отрезками заданной в условии длины, то он имеет точки на всех восьми сторонах восьмиугольникаQ $\equiv$ RTUVWXYZ. Обозначим эти восемь точек последовательно черезr,t,u,v,w,x,yиz(рис. ???; не исключено, что некоторые из названных точек совпадут с вершинамиQили между собой); так как многоугольник М выпуклый, то он обязательно будет содержать внутри выпуклый восьмиугольникq=rtuvwxyz(который также может фактически иметь меньше восьми сторон!), возможно, совпадая с ним. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы установить, когда будетнаименьшейплощадьq.

Заметим прежде всего, что если вершиныtиzвосьмиугольникаqзакреплены, то, стремясь уменьшить площадь $\Delta$ zrt, мы всегда можем сдвинутьrв одну из вершинRили Т восьмиугольникаQ. В самом деле, еслиzне совпадает сRиtне совпадает сT, то в случае, когдаzt $\nparallel$ RT, площадь $\Delta$ zrtбудет меньше всего при совпаденииrс тем из концов отрезкаRT, который ближе к прямойzt; если жеzt||RT, то площадь $\Delta$ zrtвовсе не зависит от положения точкиrнаRT, и мы снова можем считать эту точку совпадающей сRили сT. Аналогично, еслиzсовпадает сRилиtсовпадает сT, то (равный нулю) минимум площади $\Delta$ zrtдостигается, когдаrсовпадает с той же точкой; если же иrсовпадает сRиtсT, то нам безразлично, где расположить (фиктивную!) вершину''rвосьмиугольникаq, и мы можем свободно считать её совпадающей с R или с Т. Разумеется, это рассуждение сохраняет силу и в применении к любой другой вершине восьмиугольникаq, так что можно смело считать, чтовсе вершины q совпадают с какими-то вершинами Q.Но этим наши заключения о виде восьмиугольникаqнаименьшей возможной площади не ограничиваются. Предположим, например, чтовершинаrэтого многоугольникасовпадает с вершинойRмногоугольникаQ(рис. ???). Ясно при этом, что еслиyсовпадает сY, то площадь$\Delta$yzrбудет меньше всего (а именно будет равен нулю), если также ивершинаzвосьмиугольникаqсовпадётс той же точкойR; если же у$\equiv$Z, то мы также можем считать, что (фиктивная) вершинаzсовпадает сR. Далее ясно, что еслиyсовпадает сY, то по тем же соображениям иxсовпадёт сY; точно так же, если х совпадает сY, то и у совпадёт сY; поэтому либо обе точки х иyсовпадают сY(рис. ???), либо у совпадает сZ, а х — сX, причём в последнем случае точкаwтоже должна совпасть сX(рис. ???). Точно так же устанавливается, что либо точкиtиuобе совпадают сU, либоtсовпадает сTи тогда точкиuиvобе должны совпасть сV. Таким образом, если точкиrиzсовпадают сR, точки х и у — сY, а точкиtиu— сU, то либо две оставшиеся вершиныvиwвосьмиугольникаqобе совпадают сW(рис. ???), либоvсовпадает сV, aw- сX(рис. ???). Если точкиrиzсовпадают сR, точки х и у — сY, точкаt— сTи точкиuиv— сV, то в случае, когда точкаwсовпадает сW, мы приходим к пятиугольникуRTVWYво всем подобному пятиугольнику рис. ???; если же точкаwсовпадает сX, то восьмиугольник''qобращается в пятиугольникRTVXYтого же типа, что и два предшествующие. Наконец, случай, когда точкиrиzсовпадают сR, точкаy- сZ, точки х иw— сX, точкаt— с Т, а точкиuиv— сV(рис. ???), является невозможным, ибо при этом мы можем еще уменьшить площадь (вырожденного) `` восьмиугольника''q $\equiv$ RTVXZ, совместивzсZиr— сT. Поэтому интересующий насвосьмиугольник q обязательно будет вырожденным, а именно, онбудет представлять собой четырёхугольник типа RUWY (рис. ???) или TVXZ, либо пятиугольник типа RUVXY (рис. ???).

Рассмотрим эти два случая последовательно. Более простым из них является тот случай, когда `` восьмиугольник''qнаименьшей площади обращается в четырёхугольникRUWYилиTVXZ. Дело в том, чтоплощади четырёхугольников RUWY и TVXZ вовсе не зависят от взаимного расположения прямоугольников p и P.В самом деле, пустьAB= а(= 5) иAD=b(= 4) — стороны прямоугольникаP; отрезки сторон этого прямоугольника, отсекаемые сторонами прямоугольникаp, обозначим через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\delta$ , как это указано на рис. ???. В таком случае

S_RUWY= S_ABCD - S_BWY - S_CYR - S_DRU (34) = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(a - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \delta$ ] (35) = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [a( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) + b( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ ) - ( $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \alpha$ )] (36) = ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )a + ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )]. (37)
Но

$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ (h_A + h_C) = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle {\frac{3\sqrt{2}}{2}}$ = 3

$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ (h_B + h_D) = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 1,

откуда и следует, что

S_RUWY = 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3^.5 + 1^.4 - 3^.1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.16 = 12

независимо от расположения прямоугольниковpиP. Точно так же устанавливается, что

S_TVXZ	= S_ABCD - S_ATV - S_BVX - S_CXZ - S_DZT	(38)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (a - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \beta$ + (b - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(39)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )a + ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ )( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ )],	(40)

т.е.

S_TVXZ = 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (1^.5 + 3^.4 - 3^.1) = 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.14 = 13.

Перейдём теперь к тому случаю, когда `` восьмиугольник''qфактически является пятиугольником (ср. рис. ???). Одна сторона этого пятиугольника целиком принадлежит стороне р и одна — стороне Р; рассматривая отдельно случаи, когда сторонаqпринадлежит большей и меньшей стороне р и когда сторонаqпринадлежит большей и меньшей стороне Р, мы получим следующие четыре типа рассматриваемых пятиугольников.

Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — большей стороне p (скажем, стороне cd; рис. ??? а). В этом случае, очевидно, имеем

S_q	= S_ABCD - S_ATV - S_BWY - S_CYZ - S_DZT	(41)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(42)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )b + $\displaystyle \delta$ a - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ ],	(43)

или, поскольку a = 5, b = 4, $\alpha$ + $\gamma$ = 3 (т.е. $\alpha$ = 3 - $\gamma$ ) и $\beta$ + $\delta$ = 1 (т.е. $\beta$ = 1 - $\delta$ ),

S_q	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ )^.4 + $\displaystyle \delta$ ^.5 - 3 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ ]	(44)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [16 - 5 $\displaystyle \gamma$ - 2 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \gamma$ ]	(45)
	= 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [2 $\displaystyle \delta$ + (5 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ ] $\displaystyle \geq$ 12,	(46)

ибо $\delta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и $\gamma$ + $\delta$ < 5 (так как $\gamma$ $\leq$ 3 и $\delta$ $\leq$ 1).Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — меньшей стороне p (стороне ad; рис. ???). В этом случае имеем

S_q	= S_RTVWY = S_ABCD - S_ATV - S_BWY - S_CYZ - S_DRT	(47)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(b - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(48)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )b + $\displaystyle \gamma$ a - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(49)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ )^.4 + $\displaystyle \gamma$ ^.5 - 3 $\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ]	(50)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [16 - 7 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$ ] = 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (7 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \delta$ $\displaystyle \geq$ 12,	(51)

так как $\delta$ $\geq$ 0 и, очевидно, $\gamma$ + $\delta$ < 7.Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника p (скажем, стороне ab), а другая — меньшей стороне прямоугольника P (стороне BC; см. рис. ???). Тогда

S_q	= S_RUVXY = S_ABCD - S_AUV - S_BVX - S_CYR - S_DRU	(52)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [ $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(53)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ )a + $\displaystyle \delta$ b - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(54)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$ )^.5 + $\displaystyle \delta$ ^.4 - 3 $\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(55)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 6 $\displaystyle \alpha$ - 4 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(56)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 6 $\displaystyle \alpha$ - 4 $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$ ]	(57)
	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [4 $\displaystyle \delta$ + (6 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \alpha$ ] $\displaystyle \geq$ 10,	(58)

поскольку $\delta$ $\geq$ 0, $\alpha$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\alpha$ + $\delta$ < 6.Одна сторона пятиугольника q принадлежит меньшей стороне прямоугольника P (скажем, стороне AD), другая — меньшей стороне прямоугольника p (стороне bc; см. рис. ???). В этом случае получаем

S_q	= S_TUWXZ = S_ABCD - S_AUW - S_BWX - S_CXZ - S_DZT	(59)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(a - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + (b - $\displaystyle \beta$ ) $\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \delta$ ]	(60)
	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$ )a + $\displaystyle \gamma$ b - ( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$ ) $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ ]	(61)
	= 5^.4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [(4 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ )^.5 + $\displaystyle \gamma$ ^.4 - $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - (3 - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ ]	(62)
	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [20 - 8 $\displaystyle \beta$ - 2 $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ ]	(63)
	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ [2 $\displaystyle \gamma$ + (8 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \beta$ ] $\displaystyle \geq$ 10,	(64)

ибо $\beta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\beta$ + $\gamma$ < 8. Таким образом, во всех случаяхS_q $\geq$ 10; равенствоS_q= 10 имеет место, например, если в условиях рис. ??? $\alpha$ = $\delta$ = 0 (рис ???). В этом случае восьмиугольникQвырождается в пятиугольник, аqвырождается в треугольник (почему?).

Открыть на Problems.ru Все задачи по теме

Обсуждение

Комментариев пока нет.

Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.

Математическая задача: Площадь выпуклого многоугольника и проекции

Обсуждение

Версии задачи

Сообщить об ошибке

Куда двигаться дальше

Похожие задачи

Обсуждение