Вершины правильного n-угольника на параллельных прямых — сложная задач
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Показать ответ
При n = 3, 4, 6.
Разобрать решение
Предположим, что правильный n-угольник удалось разместить на линованной бумаге. Пусть O – центр этого многоугольника. Повернем все линии на угол 360°/n вокруг точки O и нарисуем на одном чертеже и прежние, и новые (получившиеся после поворота) параллельные линии. Теперь каждая вершина n-угольника лежит в точке пересечения двух линий сетки, то есть n-угольник удалось разместить так, что все его вершины попали в узлы некоторой решетки. Но, как доказано в статье А.А.Егорова "Решетки и правильные многоугольники", это возможно лишь при n = 3, 4 или 6.
Таким образом, только при этих n можно разместить правильный n-угольник на линованной бумаге.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.