Олимпиадная задача: почему совершенное число не бывает квадратом

  Пусть    где p₁, ..., p_m – различные простые, r₁, ..., r_m – натуральные числа.

  Согласно формуле из задачи 160537 б) сумма S всех делителей числа n равна произведению  

  Так как n – совершенное число, то  S = 2n,  то есть число чётное. Но если n – квадрат целого числа, то все показатели r₁, ..., r_m – чётные числа, поэтому каждая скобка в произведении S нечётна, следовательно, и S нечётно. Противоречие.