Фишки на вершинах n-угольника: тройки одного цвета в треугольниках
а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника. б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника? в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.
Показать ответ
б) Неверно. в) Для n = 5, n = 7 и n ≥ 9.
Разобрать решение
а) Среди семи вершин семиугольника A0A1A2A3A4A5A6 найдутся две соседние вершины с фишками одного цвета (если бы цвета чередовались, то многоугольник имел бы чётное число сторон). Пусть, например, в вершинах A1 и A2 стоят белые фишки.
Существуют три вершины (A0, A3 и A5), каждая из которых образует вместе с вершинами A1 и A2 равнобедренный треугольник. Если в одной из них стоит белая фишка, то соответствующий треугольник – искомый. Если же во всех трёх этих вершинах черные фишки, то искомый треугольник – A3A0A5. б) См. в). в) Очевидно, что утвержение неверно для n= 3, 4. Оно неверно также для n= 6, 8 (см. рис.). Докажем, что оно верно для всех n≥ 9.
Если цвета фишек чередуются, то уже среди пяти последовательных вершин встретится требуемый равнобедренный треугольник. Пусть для некоторой расстановки фишек в вершинах правильного n-угольника утверждение неверно и в каких-то двух соседних вершинах стоят фишки одного цвета. Можно считать, что вершиныA4иA5– "белые". Тогда вершиныA3иA6– "чёрные". Из равнобедренного треугольникаA3A6A9заключаем, чтоA9– "белая". Из рассмотрения треугольниковA1A5A9иA5A7A9следует, чтоA1иA7– "белые". Но тогдаA2A5A7– "белый" равнобедренный треугольник. Противоречие.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.