Математическая задача: деление молока сосудами 5 и 7 литров

  а) См. таблицу:

  б) Пусть  a ≥ b.  Назовём сосуд ёмкостью в  a + b  литров резервуаром, сосуд ёмкостью в a литров – первым сосудом, а сосуд ёмкостью в b литров – вторым сосудом. Докажем, что c литров можно получить тогда и только тогда, когда  c = ma + lb,  где m и l – целые числа,  0 ≤ c ≤ a .  (Если a и b – целые числа, то c литров можно получить тогда и только тогда, когда  0 ≤ c ≤ a  и c делится на  НОД(a, b)  – см. задачу [169489](https://mirolimp.ru/tasks/169489).

  Обозначим через d_k "остаток" от деления ka на b  (k = 1, 2, 3, ...):  d_k = ka – l_kb,  0 ≤ d_k < b.

  Нам достаточно доказать, что можно получить d_m литров. Действительно, поскольку  d_m = ma – l_mb  – наименьшее неотрицательное число вида  ma + lb,  где l – целое, то, добавляя к d_m еще  l + l_m  порций по b литров, мы сможем получить нужное количество с  ma + lb  литров. Как получить d_m литров, ясно из таблиц 2 (для m > 0)  и 3 (для  m < 0).

  Докажем теперь, чтоvлитров можно получить только тогда, когдаv = ma + lb.  Действительно, пусть после нескольких переливаний в первом сосуде оказалось  v₁=m₁a + l₁b  литров, а во втором –v₂=m₂a + l₂b  литров. (На самом деле один из сосудов либо пуст, либо полон, но мы этим не воспользуемся.) Тогда, как бы мы ни организовывали следующее переливание, число литров в каждом из сосудов будет равно  ma + lb.  В случае, когда используется резервуар, это очевидно, остальные случаи собраны в таблице 4.

  Из доказанного следует, что с помощью переливаний можно получить  ½ (a + b)  литров тогда и только тогда, когда  ½ (a + b) =ma + lb,  откуда (2m– 1)a+ (2l– 1)b= 0,  или