Жора и раскладка микросхем — олимпиадная задача по теории графов

Что можно сказать про граф, образованный элементами и проводами? Из того, что для двух плат способов $2$, следует, что этот граф связный. Действительно, если граф распадается на несколько частей, то общее количество способов равно произведению количеств способов для каждой из частей. Но количество способов для каждой части чётно, поскольку можно поменять наборы элементов на двух платах местами (также и для $n$ плат количество способов всегда делится на $n$, так как можно переставить наборы элементов по платам по циклу).

Подумаем теперь про размещения на $2025$ платах. Первый элемент можно разместить на любой из $2025$ плат. Элемент, связанный с первым, можно разместить на любой из $2024$ оставшихся плат. Будем и дальше добавлять по одному элементу, связанному с каким-либо из предыдущих (это возможно в силу связности графа!). Каждый раз для нового элемента доступны не более $2024$ плат (хотя бы с одним уже размещенным элементом он связан). Получается, что способов разместить $2025$ элементов на $2025$ платах для любого связного графа не больше, чем $2025 \cdot 2024^{2024}$.

Когда достигается равенство? Если каждый новый элемент всегда можно поместить на любую из $2024$ плат, то соединённые с ним старые (уже размещённые) элементы должны лежать на одной и той же плате. Если с новым элементом соединено два и более старых, то на предыдущем шаге можно было бы один из этих старых элементов поставить на свободную плату (такая найдётся, поскольку и плат, и элементов по $2025$, а элементы пока расставлены не все), но тогда для нового элемента было бы уже меньше $2024$ доступных способов расстановки. Значит, каждый новый элемент связан ровно с одним из уже распределённых по платам.

Итак, наш граф получается, если начинать с одного элемента, а потом $2024$ раза добавить по одному элементу с ровно одним проводом. Значит, всего проводов будет $2024$. (А граф будет являться деревом... впрочем, про это в задаче не спрашивали.)