Задача олимпиады о разбиении квадрата на прямоугольники и их центрах

а) См. рисунок слева. б) Приведём пример для произвольного нечётного $m = 2n$ – 1, $n$ > 1. Разобьём квадрат на $n$ «вертикальных» прямоугольников $A_1$, $\dots$, $A_n$ и $n–1$ «горизонтальных» прямоугольников $B_1$, $\dots$, $B_{n-1}$, расположенных так, как показано на рисунке справа. Центры прямоугольников будем обозначать теми же буквами, что и сами прямоугольники. Пусть ширина (горизонтальная сторона) прямоугольника $A_i$ равна $a_i$, высота (вертикальная сторона) прямоугольника $B_i$ равна $b_i$. Тогда тангенс угла наклона прямой $A_{i+1}A_i$ к горизонтальной оси равен $\frac{b_i}{a_{i+1}+a_i}$, а тангенс угла наклона прямой $B_{i+1}B_i$ к вертикальной оси равен $\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}+b_i}$. Для выпуклости достаточно подобрать значения $a_i$ и $b_i$ так, чтобы обе последовательности тангенсов возрастали с уменьшением $i$ и сумма ширин $a_n +\dots + a_1$ была бы больше суммы высот $b_{n−1}+\dots+b_1$ (тогда мы сможем подобрать высоту прямоугольника $A_n$ так, чтобы получился квадрат, а высоты остальных прямоугольников $A_i$ и ширины прямоугольников $B_i$ подберутся автоматически). Сделаем, например, $a_i = (2i – 1)!$ и $b_i = (2i)!$. Тогда $\mathrm{ctg}(A_{i+1}A_i) = 2i + 1 + \frac{1}{2i}$ , $\mathrm{ctg}(B_{i+1}B_i) = 2i + 2 + \frac{1}{2i+1}$. Нетрудно проверить, что обе последовательности котангенсов убывают с уменьшением $i$, а значит, последовательности тангенсов возрастают.