Математическая задача про вырезание треугольника из листа с дырой

Решение 1:Возьмём точку внутри треугольника и спроектируем из неё вершины треугольника на контур квадрата $ABCD$ и соединим проекции друг с другом. Получится новый треугольник, содержащий исходный. Если при этом две вершины нового треугольника окажутся на одной стороне квадрата, увеличим эту сторону треугольника так, чтобы она совпала со стороной квадрата (возможно, эту операцию придется повторить несколько раз). Достаточно доказать утверждение для последнего треугольника. Заметим, что внутри одной стороны квадрата (пусть $AD$) вершин треугольника нет. Поэтому можно считать, что вершины $K$, $L$, $M$ треугольника лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ (см. рисунок; возможно некоторые из них совпадают с вершинами квадрата). Один из отрезков $BL$, $CL$ (пусть $CL$) не меньше $\frac12$. Если при этом $CM \geqslant 2/3$, то $S_{LCM} \geqslant \frac16$. Если же $CM < \frac23$, то $S_{ADM} \geqslant \frac16$.

Решение 2: Отрежем от квадрата нижнюю треть отрезком $YZ$ и соединим концы отрезка с серединой $X$ стороны $CD$ (рис. 1). Площади треугольников $CXY$ и $DXZ$ равны по $\frac16$, поэтому внутри каждого из них есть вершина дыры (иначе эти треугольники можно отрезать). Площади треугольников $BYA$ и $BZA$ также равны по $\frac16$, поэтому оставшаяся вершина дыры лежит в каждом из них, то есть, лежит внутри треугольника $BTA$. Построив на каждой стороне квадрата такой треугольник (рис. 2), аналогично докажем, что внутри каждого из них лежит вершина дыры, что невозможно, так как треугольников четыре, а вершин три.