Квадраты на гипотенузе и равные площади. Задание по олимпиадной матема

Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $AT=p-a$, $BT=p-b$. Тогда радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $p-c$, а его площадь $$S=p(p-c)=\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}=(p-a)(p-b).$$ Поскольку треугольник $PTQ$ – прямоугольный с катетами $PT=\sqrt{2}(p-a)$, $TQ=\sqrt{2}(p-b)$, его площадь тоже равна $(p-a)(p-b)$.