Геометрическое место проекций центра окружности — олимпиадная задача Н

Рассмотрим случай, когда окружность $\omega$ вписана в треугольник, образованный прямыми $a$, $b$ и $XY$. Другие случаи разбираются аналогично. Пусть $I$ – центр $\omega$, $P$ – проекция $I$ на $X'Y'$, $T$ – точка касания $\omega$ с $XY$. Так как точки $A$ и $P$ лежат на окружности с диаметром $IX'$, то $\angle API=\angle AX'I=\angle IXA=\angle ITA$. Аналогично $\angle IPB=\angle BTI$ и, следовательно, $\angle APB=\angle BTA$.

Аналогично показывается, что по любой точке $P$ полученной окружности можно построить точки $X$, $Y$, причем прямая $XY$ будет касаться $\omega$. Исключением являются только две точки, для которых прямая $IP$ перпендикулярна одной из сторон угла, так как в этих случаях одна из точек $X'$, $Y'$ не существует.