Симметрия октаэдра: точки Торричелли

Пусть $D$ – вершина параллелограмма $AB'CD$. Тогда грани тетраэдра $ABCD$ равны граням октаэдра и суммы четырех углов, под которыми видны два противоположных ребра тетраэдра (например, $\angle CAD+\angle CBD+\angle ACB+\angle ADB$) равны $240^{\circ}$. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – точки касания вписанной в тетраэдр сферы с гранями $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ соответственно. Тогда треугольники $A_1BC$ и $D_1BC$ равны, как и пять аналогичных пар треугольников. Следовательно, $$\angle BD_1C+\angle BA_1C=\angle BAC+\angle ABD_1+\angle ACD_1+\angle BDC+\angle DCA_1+\angle DBA_1=$$ $$=\angle BAC+\angle BDC+\angle ABC_1+\angle ACB_1+\angle DCB_1+\angle DBC_1=240^{\circ}$$ и $\angle BD_1C=\angle BA_1C=120^{\circ}$. Аналогично $\angle AD_1B=\angle AD_1C=\angle BA_1C=\angle BA_1D=120^{\circ}$, т.е. точки $A_1$, $D_1$ совпадают с точками Торричелли, откуда, очевидно, следует утверждение задачи.