Максимальное число точек на прямой и свойства углов AXC и BXC

Оценка.Обозначим через $\ell$ прямую из условия (пересекающую отрезок $AB$ в точке $C$). Покажем, что на прямой $\ell$ не может быть больше двух точек, для которых $\angle BXC=2\angle AXC$. Пусть точка $F$ симметрична $A$ относительно $\ell$. Тогда $XF$ – биссектриса угла $BXC$. Построим окружность с центром $F$, касающуюся $\ell$. Прямая $XB$ также касается этой окружности, откуда и следует нужное утверждение.

Пример. Рассмотрим треугольник $X_1AB$, в котором медиана $X_1C$ образует со сторонами углы $\angle AX_1C=40^{\circ}$, $\angle BX_1C=80^{\circ}$. Пусть $X_2$ – такая точка на отрезке $X_1C$, что $\angle X_1BX_2=20^{\circ}$. Покажем, что $\angle X_1AX_2=10^{\circ}$. Тогда $X_1$, $X_2$ и точки, симметричные им относительно $C$, образуют искомую четверку.

Опустим перпендикуляры $AK$, $BH$ на прямую $X_1X_2$. Покажем, что $KA^2=KX_1\cdot KX_2$. Так как треугольники $AKC$ и $BHC$ равны, это равносильно легко проверяемому равенству $$(AX_1\sin 40^{\circ})^2=AX_1\cos 40^{\circ}(AX_1\cos 40^{\circ}-2AX_1\sin 40^{\circ}\operatorname{tg} 10^{\circ}).$$ Из доказанного равенства следует, что окружность $AX_1X_2$ касается прямой $AK$, т.е. $\angle X_2AK=\angle AX_1K=40^{\circ}$, $\angle X_1AX_2=10^{\circ}$, $\angle AX_2C=50^{\circ}$ и $\angle BX_2C=100^{\circ}$.