Олимпиадная задача: Перпендикулярность серединных перпендикуляров

Пусть $O$ – центр поворотной гомотетии, переводящей один квадрат в другой, $C_i$ – середины отрезков $A_iB_i$ ($i=1,2,3,4$). Тогда $C_1C_2C_3C_4$ – квадрат и $\angle OC_1P=\angle OC_2Q=\angle OC_3R=\angle OC_4S$, т.е. четырехугольники $OC_1PC_2$, $OC_2QC_3$, $OC_3RC_4$, $OC_4SC_1$ – вписанные. Пусть первая и третья окружности вторично пересекаются в точке $U$, а вторая и четвертая в точке $V$. Тогда по теореме о поворотной гомотетии $PR$ проходит через $U$, $QS$ – через $V$, а угол между прямыми $PR$ и $QS$ равен углу $UOV$. Но, очевидно, что $OU\parallel C_1C_2$ и $OV\parallel C_2C_3$, значит, $\angle UOV=\pi/2$.