Олимпиадная задача на плоскости с десятью точками

Докажем, что вершины любого вписанного четырехугольника лежат на контуре некоторого квадрата. В вписанном четырехугольнике $ABCD$ найдутся два соседних неострых угла, пусть это углы $A$ и $B$. Тогда проекции $X$, $Y$ точек $C$, $D$ соответственно на прямую $AB$ лежат вне отрезка $AB$. Пусть $CX\leq DY$, тогда вершины четырехугольника лежат на контуре прямоугольника $XYDZ$, где $Z$ – проекция $D$ на прямую $CX$ (см. рис.). Теперь, если $DY > DZ$, то продлим до нужной длины отрезки $XY$ и $ZD$ за точки $Y$ и $D$ соответственно, а, если $DY < DZ$, то продлим отрезки $YD$ и $XZ$ за точки $D$ и $Z$.

Рассмотрим теперь вписанный десятиугольник. Его вершины не могут лежать на контуре квадрата, так как любой такой контур имеет с окружностью не больше восьми общих точек. При этом, как показано выше, любые четыре вершины лежат на контуре некоторого квадрата.