Олимпиадная задача по планиметрии с вписанным четырехугольником

Пусть $U$ – точка пересечения $AB$ и $CD$ (см. рис.). Тогда $\frac{DY}{YC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AD}{BC} = \frac{UD}{UB}$ (второе равенство следует из подобия треугольников $EAD$ и $EBC$, третье – из подобия $UDA$ и $UBC$). Следовательно, $$UY = UD + UD \cdot \frac{CD}{UD+UB} = UD \cdot \frac{UC+UB}{UD+UB}.$$ Аналогично получаем, что $UX = UC \cdot \frac{UD+UB}{UC+UB}$. Значит $UX \cdot UY = UC \cdot UD = UA \cdot UB$. При других расположениях точек рассуждение аналогично.