Задача № 1670948, 9, 10, 11 классы2 / 5

Олимпиадная задача: множество точек в четырехугольнике

Стороны $AB$ , $BC$ , $CD$ и $DA$ четырехугольника $ABCD$ касаются окружности с центром $I$ в точках $K$ , $L$ , $M$ и $N$ соответственно. На прямой $AI$ выбрана произвольная точка $P$ . Прямая $PK$ пересекает прямую $BI$ в точке $Q$ . Прямая $QL$ пересекает прямую $CI$ в точке $R$ . Прямая $RM$ пересекает прямую $DI$ в точке $S$ . Докажите, что точки $P$ , $N$ и $S$ лежат на одной прямой.

Разобрать решение

По теореме Менелая $\frac{BQ}{QI} \cdot \frac{IP}{PA} \cdot \frac{AK}{KB}=1$ . Аналогично $\frac{CR}{RI} \cdot \frac{IQ}{QB} \cdot \frac{BL}{LC}=1$ и $\frac{DS}{SI} \cdot \frac{IR}{RC} \cdot \frac{CM}{MD}=1$ . Перемножая эти равенства с учетом равенств $AK=AN$ , $BK=BL$ , $CL=CM$ , $DM=DN$ , получаем $\frac{IS}{SD} \cdot \frac{DN}{NA} \cdot \frac{AP}{PI}=1$ , что равносильно утверждению задачи.

Открыть на Problems.ru Все задачи по теме

Обсуждение

Комментариев пока нет.

Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.

Олимпиадная задача: множество точек в четырехугольнике

Обсуждение

Версии задачи

Сообщить об ошибке

Куда двигаться дальше

Похожие задачи

Обсуждение