Центр окружности в четырехугольнике $ABCD$

Заметим, что $O_1O_2$ – серединный перпендикуляр к отрезку $DI$, $\angle IO_1O_2=\angle IAD$, $\angle IO_2O_1=\angle ICD$. Поэтому для центра $O$ окружности $IO_1O_2$ выполнено $\angle OIO_1=90^{\circ}-\angle ICD$. С другой стороны, $\angle O_1IA=90^{\circ}-\angle IDA$ и $$\angle BIO_1=180^{\circ}-\angle IAB-\angle IBA+90^{\circ}-\angle IDA=90^{\circ}+\angle ICD.$$ Следовательно, точки $B$, $I$, $O$ лежат на одной прямой – биссектрисе угла $B$.