Текстовая задача: собаки и их хозяева

Решение 1:Пусть $L$ – расстояние между людьми в момент, когда они отпустили собак, $v$ и  $V > v$  – скорости людей, $u$ – скорость собак. Собака медленного хозяина добежит до быстрого за время  $\frac{L}{u+V}$  и за это время убежит от своего хозяина на расстояние  $\frac{L(u-v)}{u+V}$,  а вернётся к нему за время  $\frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)}$.  Общее время её "путешествия" равно  $\frac{L}{u+V} + \frac{L(u-v)}{(u+V)(u+v)} = \frac{2Lu}{(u+V)(u+v)}.$  Тот же результат аналогично получится и для другой собаки.

Решение 2:На рисунке на горизонтальной оси откладывается расстояние вдоль дорожки, а на вертикальной – время. Точки $A$ и $B$ соответствуют положениям хозяев (и их собак) в начальный момент, люди движутся в пространстве-времени по лучам $AC$ и $BC$, а собаки – по ломаным $APR$ и $BQS$. Поскольку скорости собак одинаковы,  $AP$ || $QS$  и  $BQ$ || $PR$.  По теореме Фалеса $CQ : CA = CS : CP$  и  $CR : CQ = CP : CB$,  откуда  $CR : CA = CS : CB$.  Следовательно,  $RS$ || $AB$,  что и означает одновременность событий $R$ и $S$.