Задача по олимпиадной математике: треугольники и квадрат

  а) Впишем в квадрат четырёхугольник без параллельных сторон так, чтобы одна его сторона разбила на части обе левые клетки, вторая – обе верхние, третья – обе правые, четвёртая – обе нижние.

Продлим пары противоположных сторон до пересечения. Теперь квадрат покрыт двумя углами, при этом нет клетки, целиком покрытой одним углом. Отрезав лишнее, превратим углы в треугольники.

На рисунке – пример искомого четырёхугольника на клетчатой бумаге со вспомогательными клетками размера 0,25×0,25.   б) Отметим 9 вершин клеток квадрата 2×2 как на рисунке. Треугольники их все накрывают.   Возможны три случая распределения вершин квадрата $A, B, C, D$ между треугольниками.

  1) В один накрывающий треугольник $T$ попали три вершины, скажем, $A, B, C$. Тогда фигура $T$ накрывает весь треугольник $AB$ и, тем более, клетку $BFOE$.

  2) В накрывающие треугольники попали пары вершин на противоположных сторонах, скажем, в один $A, B$, в другой $C, D$. Тогда первый накрывает и точку $E$, а второй – точку $G$.

Из трёх точек $H, O, F$ либо две, либо все три попадут в один треугольник. В силу выпуклости среди них есть пара точек на расстоянии 1. Пусть, например, $H$ и $O$ попали вместе с $A, E, B$.

Тогда в этом треугольнике лежит клетка $AEOH$.

  3) В накрывающие треугольники $T_1$ и $T_2$ попали пары противоположных вершин квадрата: скажем, в $T_1$ – $A$ и $C$, в $T_2$ – $B$ и $D$ (рис. слева). Тогда лежащая на пересечении диагоналей точка $O$

попала и в $T_1$, и в $T_2$. Будем искать такое распределение точек $E, F, G, H$ по треугольникам, чтобы ни один из треугольников не накрывал целую клетку. Можно считать, что точка $E$ попала в $T_1$.

Тогда $H$ – в $T_2$ (иначе $T_1$ накроет клетку $AEOH$), $G$ – в $T_1$ (иначе $T_2$ накроет $HOGD$), $F$ – в $T_2$ (иначе $T_1$ накроет $OFCG$).   Исследуем этот случай подробнее. Заметим, что никакая точка $M$ отрезка $AE$ не лежит в $T_2$, иначе лежащая на $MB$ точка $E$ принадлежала бы $T_2$. Аналогично отрезок $GC$ не пересекается

с $T_2$, а отрезки $BF$ и $DH$ – с $T_1$. Значит, стороны квадрата пересекаются с $T_1$ по отрезкам $AK, LC, CM$ и $NA$ (рис. справа), а остальные части контура квадрата принадлежат $T_2$. Среди четырёх ломаных $NAK, KBL, LCM, MDN$ хотя бы одна (пусть $NAK$) имеет длину не меньше 2.

  В силу выпуклости $T_1$ пересекается с квадратом по шестиугольнику $AKLCMN$. Отложим на $AK$ отрезок  $KP$ = 1.  Восставив из точки $P$ перпендикуляр, найдём его второе пересечение $Q$ с контуром шестиугольника. Если $Q$ лежит на $MC$, то  $PQ$ = 2 > 1.  Если же $Q$ лежит на $MN$, опустим перпендикуляр $NR$ на $PQ$. Треугольники $NMD$ и $QNR$ подобны,  $DM < DN$,  поэтому  $NR < RQ$.  Значит,  $KP + PQ = KP + PR + RQ > KP + PR + RN = KP + PA + AN$ ≥ 2,  откуда  $PQ$ ≥ 1.  Следовательно, прямоугольник $QPQS$ содержит квадрат 1×1 и накрыт шестиугольником $AKLCMN$ и, тем более, треугольником $T_1$.