Равенство радиусов вписанных окружностей треугольников

  Обозначим радиусы шести равных окружностей через $r$, а их центры – через $A, B, C, D, E, F$ в порядке обхода против часовой стрелки. Рассмотрим треугольник $ACE$. Заметим, что если уменьшить на $r$ радиус вписанной окружности исходного треугольника, содержащего треугольник $ACE$, оставив центр тем же, то получится вписанная окружность треугольника $ACE$ (см. рис.).   Аналогично радиус вписанной окружности треугольника $BDF$ на $r$ меньше радиуса вписанной окружности исходного треугольника, содержащего $BDF$. Таким образом, утверждение задачи эквивалентно равенству радиусов вписанных окружностей треугольников $ACE$ и $BDF$.

  Опустим перпендикуляры из $AA_1$ на $BF$, $BB_1$ на $AC$ и т.д. Обозначим точку пересечения отрезков $AB_1$ и $A_1B$ через $X$. Несложно видеть, что длины отрезков $AA_1, BB_1$, ..., равны 2$r$. Заметим, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ вписанный, поскольку  ∠$AA_1B$ = ∠$AB_1B$,  а так как  $AA_1 = BB_1$,  то он является равнобокой трапецией с основаниями $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно,  $\triangle AXA_1 = \triangle BXB_1$  и  $AB_1 = A_1B$.  Рассматривая трапеции $BB_1C_1C$, $CC_1D_1D$, ..., получаем аналогичные равенства треугольников и отрезков (см. рис.; на нём закрашены три пары равных треугольников из шести).   Несложно видеть, что  $P_{ACE} = AB_1 + B_1C + CD_1 + D_1E + EF_1 + F_1A = A_1B + BC_1 + C_1D + DE_1 + E_1F + FA_1 = P_{BDF}$.  Также равны площади треугольников $ACE$ и $BDF$, поскольку при вырезании из них общего шестиугольника остаётся по шесть прямоугольных треугольников, разбивающихся на пары равных.

  Поскольку площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра, то из равенства площадей и равенства периметров двух треугольников следует равенство радиусов вписанных в них окружностей.