Задание олимпиады о дугах и параллельных прямых

Будем считать, что $AB\not=BC$ (в противном случае утверждение задачи очевидно). Касательная $t$ к окружности $ABC$ в точке $B$ касается также окружности $BPQ$. Поэтому прямые $A_0C_0$, $PQ$ и $t$ пересекаются в одной точке – радикальном центре $X$ окружностей $ABC$, $BPQ$ и $PQRS$. Кроме того, $A_0C_0$ образует равные углы с $AC$ и $t$, т.е. является биссектрисой угла $BXP$. А поскольку центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ симметричен $B$ относительно $A_0C_0$, то $I$ лежит на $PQ$. При этом $IQ=QC$, $IA_0=A_0C$ и, значит, прямая $A_0Q$ проходит через середину $B_0$ дуги $AC$. Аналогично получаем, что $C_0P$ проходит через $B_0$.

Теперь имеем $\angle RA_0P=\angle RQP=\angle C$, $\angle PRA_0=\angle PC_0A_0=(\pi-\angle C)/2$. Следовательно, $A_0P=A_0R$. Аналогично, $C_0Q=C_0S$, что и доказывает утверждение задачи.