Углы выпуклого четырёхугольника: математическая задача

Первое решение.Пусть $AD$ — наибольшая сторона четырёхугольника $ABCD$. По условию, сумма любых двух других сторон не больше $AD$. а) Пусть углы $A$ и $D$ оба больше $60^\circ$. Построим на стороне $AD$ равносторонний треугольник $AKD$ во внутреннюю сторону четырёхугольника. Его стороны $AK$ и $DK$ выходят из вершин $A$ и $D$ внутрь четырёхугольника. Точка $K$ будет лежать вне четырёхугольника (иначе $AB+BC+CD > AK+KD=2AD$, и тогда какие-то две стороны из $AB,BC,CD$ в сумме больше $AD$, противоречие). Тогда $\angle BKC>60^\circ$, откуда в треугольнике $BKC$ сторона $BC$ не самая маленькая. Пусть она больше, например, $BK$. Тогда $AB+BC>AB+BK>AK=AD$ — противоречие.

б) Пусть каждый из углов $B$ и $C$ меньше $120^\circ$. Продлим лучи $AB$ и $DC$, дополнительные углы будут больше $60^\circ$. Построим на стороне $BC$ равносторонний треугольник $BKC$ во внешнюю сторону четырёхугольника. Тогда угол $AKD$ будет меньше $60^\circ$ (стороны $BK$ и $CK$ «загибаются внутрь» от лучей), и значит, в треугольнике $AKD$ сторона $AD$ не самая большая. Пусть она меньше, например, чем $AK$. Тогда получаем: $AD < AK < AB+BK=AB+BC$  — противоречие.

Второе решение. Пусть $AD$ — наибольшая сторона четырёхугольника $ABCD$ и $CD\leq AB$. Поскольку $AD\geq BC + CD > BD$, угол $А$ острый. Аналогично, угол $D$ острый. Поэтому проекции $P$ и $Q$ точек $B$ и $C$ на прямую $AD$ лежат на интервале $АD$.

а) Предположим, что оба угла $A$ и $D$ больше $60^\circ$. Тогда $AD = AP + PQ + QD < \frac12 AB + BC + + \frac12 CD \leqslant AB + BC$, то есть из сторон $AD$, $AB$ и $BС$ можно составить треугольник. Противоречие.

б) Заметим, что $PQ\leqslant BC$, $AB+BC\leqslant AD$, откуда $AB\leqslant AD-PQ=AP+QD$. Отметим точку $Х$ на луче $BP$ и точку $Y$, такие, что $BX=CQ$, $\overrightarrow{BY}=\overrightarrow{CD}$. Тогда треугольники $BХY$ и $CQD$ равны, $AY\geqslant AP+XY=AP+QD\geqslant AB\geqslant CD=BY$. Поэтому $AY$ — наибольшая сторона треугольника $ABY$, а $\angle ABY$ — его наибольший угол. Тогда $\angle ABP+\angle PBY=\angle ABY\geqslant 60^\circ$, а значит, $\angle BAP+\angle BYX=\angle BAP+\angle CDA\leqslant 120^\circ$. Поскольку сумма углов четырёхугольника $ABCD$ равна $360^\circ$, то $\angle B+\angle C \geqslant 240^\circ$. Поэтому либо $\angle B\geqslant 120^\circ$, либо $\angle C\geqslant 120^\circ$.