Задание по олимпиадной математике: вписанный четырёхугольник

Решение 1:   Наряду с каждой точкой $M$ будем рассматривать её радиус-вектор  m = $\overline{OM}$,  где $O$ – центр описанной окружности четырёхугольника $ABCD$.

  Радиус-вектор центра окружности Ω${AB}$, построенной на отрезке$AB$ как на диаметре, равен  ½ (a + b),  а её радиус равен  ½ |a – b|.  Степень точки $S$ c радиус-вектором  ½ (a + b + c + d)  относительно Ω${AB}$ равна  ¼ (c + d)² – ¼ (a – b)² = ½ (c, d) + ½ (a, b)  (поскольку  |a| = |b| = |c| = |d|).  Очевидно, степень точки $S$ относительно Ω${CD}$будет такой же. Значит,$S$лежит на радикальной оси$X{1}Y_{1}$ этих окружностей.

  Аналогично $S$ лежит на $X_{2}Y_{2}$ и $X_{3}Y_{3}$, что и требовалось.

Решение 2:   Теорема Монжа. Перпендикуляры, опущенные из середин сторон вписанного четырёхугольника ABCD на противоположные стороны и из середин его диагоналей на противоположные диагонали, проходят через одну и ту же точку (точку Монжа).

  Доказательство. Докажем, что точка Монжа совпадает с точкой $G$, симметричной центру $O$ описанной окружности относительно центра тяжести $S$ вершин $A, B, C, D$ ($S$ является общей серединой двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, и отрезка, соединяющего середины диагоналей четырёхугольника $ABCD$).

  В самом деле, если $M_{AB}$ и $M_{CD}$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, то в четырёхугольнике $M_{AB}GM_{СВ}O$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, он – параллелограмм. Так как  $OM_{AB}\perp AB$  и  $OM_{CD}\perp CD$,  то $M_{CD}G\perp AB$ и $M_{AB}G\perp CD$,  то есть два перпендикуляра из условия проходят через $G$. Аналогично через $G$ проходят остальные четыре перпендикуляра. (Случаи, когда $O$ и $S$ совпадают, или какие-то из указанных параллелограммов вырождаются в отрезки, очевидны.)   Если в четырёхугольнике $ABCD$ есть пара параллельных сторон, то утверждение очевидно, так как в силу симметрии две из прямых будут срединными перпендикулярами к этим параллельным сторонам, то есть совпадут, а третья прямая будет им перпендикулярна. Поэтому далее считаем, что параллельных сторон нет.

  Пусть Ω – описанная окружность четырёхугольника $ABCD$, $K$ – точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Тогда $K$ – радикальный центр окружностей Ω${AB}$, Ω${CD}$и Ω. Радикальная ось$X_{1}Y_{1}$окружностей Ω${AB}$и Ω${CD}$перпендикулярна их линии центров, то есть содержит высоту треугольника$M_{AB}KM_{CD}$. Значит,$X_{1}Y_{1}$проходит через точку пересечения высот этого треугольника – точку Монжа$G$. Аналогично через эту точку проходят прямые$X_{2}Y_{2}$и$X_{3}Y_{3}$.