Задание олимпиады: Сумма чисел на доске Глеба

  Как известно (см. задачу 34918),  найдётся такое $m$, что  $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{m+2}$ > 100.

  Положим  $N = a + a_{1} = 2 a_{1} + a_{2} = 3 a_{2} + a_{3} = ... = ma_{m-1} + a_m = (m + 2)a_m$.  Тогда  $a > \frac{N}{2}$,  $a_1 > \frac{N}{3}$,  $a_2 > \frac{N}{4}, ..., a_{m-1} > \frac{N}{m+1}, a_m > \frac{N}{m+2}$  и  $a + a_{1} + a_{2} + ... + a_m > 100N$.

  Осталось найти решение указанной системы в целых числах. Заметим, что  $a = a_{1} + a_{2}$,  $a_{1} = a_{2} + \frac{a_3}{2},  a_{2} = a_{3} + \frac{a_4}{3}, ..., a_{m-2} = a_{m-1} + \frac{a_m}{m-1}, a_{m-1}=\frac{(m+1)a_m}{m}$.  Поэтому при  $a_m = m!$  все числа $a_{m-1}, a_{m-2}, ..., a_{1}, a, N$ будут целыми. Действительно, $a_{m-1}$ делится на  ($m - 1$)!,  $a_{m-2}$ – на  ($m - 2$)!,  $a_{m-3}$ – на  ($m -3$)!  и т.д.