Угол KDA в трапеции ABCD: задача для 8-11 классов

Решение 1:Пусть $DH$ – высота трапеции, тогда $ADCH$ – параллелограмм (рис. слева). Пусть $M$ – его центр. Тогда $KM$ – серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По теореме об угле между хордой и касательной  ∠$KAD$ = ∠$ABD$ = ∠$BAC$ = ∠$KMD$  (последние два угла – углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Значит, точки $A, K, D$ и $M$ лежат на одной окружности, откуда  ∠$KDA$ = ∠$KMA$ = 90°.

Решение 2:Проведём высоту $CY$ (рис. справа). Равнобедренные треугольники $ADY$ и $AKC$ подобны (угол $KAC$ как угол между касательной и хордой равен углу $DAY$, опирающемуся на такую же дугу). Поэтому подобны и треугольники $ADK$ и $AYC$ (по углу и двум сторонам). Следовательно,  ∠$ADK$ = 90&deg.