Математическая задача о площадях четырёхугольника

  а) Опустим перпендикуляры $MP, MQ, MR, MT$ на прямые $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Тогда  $S_{ABCD} = S_{AMB} + S_{BMC} + S_{CMD} + S_{DMA} \leqslant (S_{AMP} + S_{BMP}) + (S_{BMQ} + S_{CMQ}) + (S_{CMR} + S_{DMR}) + (S_{DMS} + S_{AMT})$ =

= $(S_{AMP} + S_{CMR}) + (S_{BMP} + S_{DMR}) + (S_{BMQ} + S_{DMT}) + (S_{CMQ} + S_{AMT})$.  Заметим, что прямоугольные треугольники $AMP$ и $CMR$ имеют равные катеты $MP$ и $MR$, поэтому из них можно сложить треугольник Δ, две стороны которого равны $MA$ и $MC$, а значит,  $S_{AMP} + S_{CMR} = S_{\Delta} \leqslant \frac{1}{2} MA\cdot MC$.  Аналогично  $S_{BMP} + S_{DMR} \leqslant\frac{1}{2} MB\cdot MD$,  $S_{BMQ} + S_{DMS} \leqslant \frac{1}{2} MB\cdot MD$,  $S_{CMQ} + S_{AMS} \leqslant \frac{1}{2} MA\cdot MC$.

  Следовательно,  $S_{ABCD} \leqslant MA\cdot MC+MB\cdot MD$.  Из условия видно, что все предыдущие неравенства на самом деле являются равенствами. Это значит, что, во-первых, точки $P, Q, R, T$ лежат на соответствующих сторонах четырёхугольника и, во-вторых, треугольник Δ прямоугольный, то есть  ∠$MAP$ + ∠$MCR$ = 90°.  Аналогично  ∠$MAD$ + ∠$MCQ$ = 90°,  откуда

∠ $BAD$ + ∠$BCD$ = (∠$MAP$ + ∠$MCR$) + (∠$MAT$ + ∠$MCQ$) = 180°,  то есть четырёхугольник вписанный.   б) Из прямоугольного треугольника Δ (см. а)) видно, что  $AP + RC = \sqrt{MA^2 + MC^2}$.  Аналогично  $BP + RD = \sqrt{MB^2 + MD^2}$.  Следовательно,  $AB + CD = \sqrt{MA^2 + MC^2} + \sqrt{MB^2 + MD^2}$.  Вычисляя похожим образом сумму  $BC + DA$,  мы получим тот же результат.