Олимпиадная задача: постройка правильного треугольника

Пусть сторона квадрата равна $1$. Покажем, как построить середину любого отрезка $PQ$, длина которого не превосходит $1$. Проведем через $P$ произвольную прямую $\ell$, отличную от прямой $PQ$ и не перпендикулярную ей. Пусть $R$ – проекция $Q$ на $\ell$, а $S$ – точка пересечения перпендикуляров из $P$ и $Q$ к $PR$ и $QR$ соответственно. Тогда $RS$ делит $PQ$ пополам.

Теперь для решения задачи построим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $A$ и отложим на них отрезки $AB=AC=\frac{1}{2}$ (сначала построим отрезки $AB'=AC'=1$, затем разделим их пополам). Построим отрезок $BC$ и перпендикуляр к нему из точки $C$. Построим такую точку $D$, что $\angle BCD=90^{\circ}$ и $CD=\frac{1}{2}$. Построим отрезок $BD$ и перпендикуляр к нему из точки $D$. Построим точки $E$ и $F$ такие, что $\angle BDE=\angle BDF=90^{\circ}$ и $DE=DF=\frac{1}{2}$. Треугольник $BEF$ искомый, поскольку его основание $EF=1$, а высота и медиана $BD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.