Задание по олимпиадной математике: Треугольники в прямоугольнике

Пусть $KLM$ – один из таких треугольников, $O$ – середина его основания KM (см. рисунок).

Тогда $LO$ – медиана, а значит, и биссектриса, и высота треугольника $KLM$. Поскольку углы $KBL$ и $LOK$ прямые, точки $B$ и $O$ лежат на окружности c диаметром $KL$, откуда  $\angle KBO = \angle KLO$ = ^α/₂.  Аналогично  ∠МСO = ∠МLO = ^α/₂.  Следовательно, $O$ – точка пересечения фиксированных прямых, проведённых из вершин $B$ и $C$, то есть она не зависит от положения треугольника $KLM$.