Доказательство тупоугольности треугольника ABC

Решение 1:Пусть $X$ – середина отрезка $EC$. Тогда $MX = 0,5BE$. Как известно, чевиана треугольника меньше хотя бы одной из сторон, выходящих из той же вершины (это следует, например, из свойств наклонных и проекций). По условию,  $MX \geqslant MA$,  значит,  $MX < MC$.  Тем более,  $MA < MC$.  Следовательно, точка $A$ лежит внутри круга с диаметром $BC$. А это и значит, что угол $A$ тупой.

Решение 2:Пусть угол $A$ не тупой. Тогда центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на $BC$ или по ту же сторону от $BC$, что и вершина $A$. Значит,  $2AM \geqslant 2AO = OB + OC \geqslant BC > BE$.  Противоречие.

Решение 3:(Арбуханова Гульжаган) Достроим треугольник до параллелограмма $ABDC$. Пусть отрезки $AM$ и $BE$ пересекаются в точке $Y$. Так как треугольники $AYE$ и $DYB$ подобны и  $BE \geqslant 2AM = AD$,  то  $BY \geqslant YD$.  Сравнивая это с неравенством треугольника  $YM + MB > BY$,  получим  $MB > MD$.  То есть $BC$ – большая диагональ параллелограмма, т.е. угол $A$ тупой.