Задание по олимпиадной геометрии: Прямые AA1, BB1, CC1

Решение 1:Поскольку $\angle A_BIB=\angle IBC=\angle IBA=\angle C_BIB$, точки $A_B$ и $C_B$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$ (см. рис.).По теореме Чевы $$\frac{\sin\angle CAA_1}{\sin\angle BAA_1} \cdot \frac{\sin\angle ABA_B}{\sin\angle CBA_B} \cdot \frac{\sin\angle BCA_C}{\sin\angle ACA_C} = 1.$$ Перемножив это и два аналогичных равенства, получим утверждение задачи.

Решение 2:Так как отрезки $A_BA_C$ и $BC$ гомотетичны относительно точки $A_1$, прямая $A_1I$ проходит через середину $M$ стороны $BC$, причем $A_1I:A_1M = 2r:BC$. Поэтому расстояние от $A_1$ до прямой $AC$ равно $r(BC-h_b)/(BC-2r)$, где $h_b$ – длина высоты из вершины $B$. Аналогично получаем, что расстояние от $A_1$ до $AB$ равно $r(BC-h_c)/(BC-2r)$. Следовательно, $\sin\angle A_1AC:\sin\angle A_1AB=(1-\sin\angle C):(1-\sin\angle B)$. Написав аналогичные равенства для точек $B_1$, $C_1$ и применив теорему Чевы, получим утверждение задачи.