Задание по олимпиадной математике: Дуги n-угольника

Пусть $M_1$, $M_2$ – середины сторон $A_1A_2$, $A_2A_3$ многоугольника $A_1\ldots A_n$, вписанного в окружность с центром $O$, $H_1$, $H_2$ – вторые точки пересечения этих сторон с окружностью, проходящей через середины сторон многоугольника. Тогда сумма ориентированных дуг (последнее равенство следует из вписанности четырехугольника $OM_1A_2M_2$) $$\smile M_1H_1+\smile M_2H_2 = \smile M_1H_2+\smile M_2H_1 = 2(\angle A_2M_2M_1+\angle A_2M_1M_2) = 2(\angle OM_2M_1+\angle OM_1M_2) = 2(\angle OA_2M_1+\angle OA_2M_2).$$ Просуммировав такие равенства, получим, что сумма ориентированных дуг $M_iH_i$ равна нулю, следовательно, раскраска дуги в соответствии с их ориентацией – искомая. Примечание. Это же рассуждение можно провести иначе. Проекции центра $O$ описанной окружности на стороны многоугольника – середины сторон $M_i$ – лежат на одной окружности. Следовательно, вторые точки $H_i$ пересечения сторон с окружностью являются проекциями на стороны некоторой точки $H$, причем лучи $A_iO$ и $A_iH$ симметричны относительно биссектрисы угла $A_{i-1}A_iA_{i+1}$. Теперь нетрудно получить, что ориентированный угол между прямыми $M_1M_2$ и $H_1H_2$ равен ориентированному углу $HA_2O$, а сумма всех таких углов равна нулю.