Геометрическая задача о точках, лежащих на одной окружности

Пусть $K$ – точка пересечения $A_2C_2$ с $AC$, $M$ – середина $A_2C_2$, $N$ – вторая точка пересечения окружности $ACM$ с $A_2C_2$. Тогда $KM \cdot KN = KA \cdot KC = KA_2 \cdot KC_2$, т.е точки $A_2$, $C_2$, $K$, $N$ образуют гармоническую четверку. Спроецировав прямую $A_2C_2$ из точки $B_1$ на прямую $AA_1$, получим, что $A_1$, точка пересечения $AA_1$ с $B_1C_1$, $A$ и точка пересечения $BN$ с $AA_1$ также образуют гармоническую четверку. Значит, $BN$ проходит через точку пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, т.е. совпадает с прямой $BB_1$.