Олимпиадная задача: Деление дуги окружности

Пусть прямые $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $H$, а прямые $BD$ и $AF$ – в точке $G$. Прямая $AB$ касается описанной вокруг $CAE$ окружности, значит, $(CA, CE) = (AB, AE)$. Четырехугольник $ABEF$ вписанный, следовательно,$(AB, AE) = (FB, FE)$. Получаем, что $$(CH, CE) = (CA, CE) = (AB, AE) = (FB, FE) = (FH, FE)$$ $$(CH, CE) = (FH, FE)$$ Значит, четырехугольник $CHFE$ вписанный. Аналогичными рассуждениями получаем, что четырехугольник $DGFE$ вписанный. По условию, $CFED$ – вписанный. Значит, точки $C$, $D$, $E$, $F$, $H$, $G$ лежат на одной окружности (см. рис.). Рассмотрим вписанный шестиугольник $FFHCDG$ и применим к нему теорему Паскаля. Получаем, что точки пересечения пар прямых $FF$ и $CD$, $FH$ и $DG$, $HC$ и $GF$ коллинеарны (в данном случае прямая $FF$ – это касательная в точке $F$ к окружности $CFD$, обозначим эту прямую $l$). То есть точки $A$, $B$ и точка пересечения $l$ и $CD$ лежат на одной прямой. Но $AB\parallel CD$, значит, $l\parallel CD$, а отсюда следует, что $F$ – середина дуги $CD$.