Доказательство биссектрисы угла в треугольнике ABC

Точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$, следовательно, $\angle AOB = 2 \angle C$. Треугольник $AOB$ равнобедренный, поэтому $\angle BAO =\frac{180^{\circ}-\angle AOB}{2}=90^{\circ}-\angle C$. Точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $AC$, откуда $\angle BB_1C = 90^{\circ} -\angle C$. Следовательно, четырехугольник $ABKB_1$ вписанный (см. рисунок). Дуги $BA$ и $AB_1$ равны в силу симметрии, поэтому $\angle BKA =\angle AKB_1$. Значит, луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$, что и требовалось доказать.