Расстояние от верхней целой части к квадратам

Пусть $t$ – больший корень многочлена $x^2-10x+1$, тогда $t+\frac{1}{t}=10.$ Докажем по индукции, что число $t^n+\frac{1}{t^n}$ целое при любом целом неотрицательном $n$.

Действительно, это верно при $n=0$, 1. Кроме того, $$t^{n+1}+\frac{1}{t^{n+1}}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)\Biggl(t+\frac{1}{t}\Biggr)-\Biggl(t^{n-1}+\frac{1}{t^{n-1}}\Biggr),$$ что позволяет проделать шаг индукции.

Положим $A=t^2$, тогда $A^n+\frac{1}{A^n}=\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2-2$ и $\frac{1}{A^n}<1$, значит, $A^n+\frac{1}{A^n}$ и есть верхняя целая часть $A^n,$ а ближайший к ней квадрат целого числа равен $\Biggl(t^n+\frac{1}{t^n}\Biggr)^2$.